Bumpy metric theorem in the sense of Mañé for non-convex Hamiltonian vector fields
Théorème des métriques bosselées au sens de Mañé pour les champs de vecteurs hamiltonien non convexe
Résumé
A property (p) of smooth Hamiltonian vector fields is called Mañé-generic whenever the set of smooth potentials u such that H + u satisfies the property (p) is a generic subset. Given a non-convex smooth Hamiltonian H : T∗M → ℝ which is defined on the cotangent bundle of a smooth manifold M, our goal in this thesis is to know that to what extend non-degeneracy of all periodic orbits in a given energy level of H is a Mañé generic property. Where by a periodic non-degenerate orbit we mean a periodic orbit that its associated linearized Poincaré map does not take roots of unity as an eigenvalue. To that end, we will achieve a perturbation theorem for linearized Poincaré maps similar to Rifford and Ruggiero’s theorem in the convex setting, and a Fermi-like normal form on orbits of a non-convex Hamiltonian vector field. These are two applicable tools in the study of non-convex Hamiltonian vector fields. At the other hand, we will show that in both convex and non-convex cases we certainly need a different machinery to prove the bumpy metric theorem for symmetric orbits. A symmetric orbit is an orbit that its projection on the base manifolds includes either self-intersection points or points with zero velocity. This fact was overlooked in previous studies. A detailed study of local normal forms on orbit segments of a Hamiltonian vector field is given. That includes a normal form for convex Hamiltonians, a normal form for positively homogeneous Hamiltonians that implies Li-Nienberg normal form for Finsler metrics, and as we mentioned a normal form for non-convex Hamiltonians. In this way, we remove the confusion that exists in the literature between Li-Nirenberg normal form and a similar desired normal form for convex Hamiltonian vector fields.
Une propriété est générique au sensé de Mañé si, donné un Hamiltonien H : T∗M → ℝ, l’ensemble des fonctions lisses u : M → ℝ tel que H + u vérifie la propriété est un sous-ensemble générique de C∞(M). Notre objectif est de savoir dans quelle mesure la non dégénérescence de toutes les orbites périodiques dans un niveau d’énergie donné d’un Hamiltonien lisse non convexe est une propriété générique au sensé de Mañé. Où la nondégénérescence signifie que dérivée de l’application de Poincaré ne prend pas les racines de l’unité comme une valeurs propre. Pour atteindre cet objectif, nous obtiendrons un théorème de perturbation pour les aplication de Poincaré similaire au théorème de Rifford et Ruggiero dans le cadre convexe, et une forme normale de type Fermi sur les orbites d’un champ de vecteurs Hamiltonien non convexe. Ce sont deux outils applicables à l’étude de la dynamique des champs de vecteurs Hamiltoniens non convexes. D’autre part, nous montrerons que dans les cas convexes et non convexes, nous avons certainement besoin d’un mécanisme différent pour prouver le théorème des métrique bosselées pour les orbites symétriques. Une orbite symétrique est une orbite dont la projection sur les variétés de base comprend soit des points d’auto-intersection, soit des points à vitesse nulle. Ce fait a été négligé dans les études précédentes. Une étude détaillée des formes normales locales sur les segments d’orbite d’un champ de vecteurs Hamiltonien est donnée. Cela inclut une forme normale pour les Hamiltoniens convexes, une forme normale pour les Hamiltoniens positivement homogènes qui implique la forme normale de Li-Nienberg pour les métriques de Finsler, et comme nous l’avons mentionné une forme normale pour les Hamiltoniens non convexes. De cette façon, nous éliminons la confusion qui existe dans la littérature entre la forme normale de Li-Nirenberg et une forme normale souhaitée similaire pour les champs de vecteurs Hamiltoniens convexes.
Origine : Version validée par le jury (STAR)